Les différents types d'équations

La forme générale : la forme générale est une forme développée de la forme factorisée. Elle est écrite sous la forme y = Ax² + Bx + C et nous permet de trouver l'ordonnée à l'origine, ainsi que la courbe de la parabole dépendant si a est positif (U) ou négatif (⋂).

La forme factorisée : la factorisation est l'opération inverse du développement. La forme factorisée est écrite sous la forme y = A(x - x1)(x - x2) et nous permet de trouver les abscisses à l'origine, ainsi que la courbe de la parabole dépendant si a est positif (U) ou négatif (⋂).

Exemples : 

1. forme générale : y = x² -7x + 12
• on sait que l'ordonnée à l'origine sera 12 et que la courbe sera en U puisque A est positif.

1. forme factorisée : y = (x - 3)(x - 4)
• on sait que les abscisses à l'origine seront 3 et 4 (l'opposé de x1 et x2) et que la courbe sera en U puisque A est positif.

Comment convertir la forme générale en forme factorisée?

• Il faut observer l'équation générale et trouver deux facteurs qui : lorsque multipliés donnent C et lorsqu'additionnés donnent B (méthode produit - somme).

Exemple :

1. forme générale : y = x² + 5x + 6

• facteurs de 6 → 1 et 6 // 2 et 3
• lorsqu'on additionne 1 et 6, ça nous donne 7, alors il faut choisir 2 et 3, car lorsqu'on les additionne on obtient 5 (valeur de B dans l'équation sous forme générale)

1. Donc, la forme factorisée sera y = (x + 2)(x + 3)

** Lorsqu'on a une équation sous forme générale qui nous donne deux facteurs identiques lorsqu'on la factorise, on peut mettre l'équation sous forme factorisée au carré.

Exemple : 

1. forme générale : y = x² + 8x + 16

• facteurs de 16 → 1 et 16 // 2 et 8 // 4 et 4
• il faut choisir 4 et 4 puisque ce sont les seuls deux facteurs avec une somme de 8

1. forme factorisée : (x + 4)(x + 4) ou (x + 4)² , puisque les deux équations sont pareilles

Comment convertir la forme factorisée en forme générale?

Exemple :

1. forme factorisée : y =  (x + 3)(x + 7)
2. forme développée y = x² + 7x + 3x + 21
• = x² + 10x + 21

La mise en évidence : cette méthode est un autre façon de factoriser une équation. C'est un procédé qui consiste à trouver le plus grand facteur commun entre tous les termes de l'équation et par la suite mettre ce facteur en évidence en divisant chacun des termes par le PGCD. Ce dernier peut être un chiffre et / ou une variable.

Exemple :

1. y = 4x³ + 12x² + 8x

• le plus grand facteur commun ou le PGCD de cette équation est 4x
• on divise alors chaque terme par 4x

1. Donc, la nouvelle équation sera la suivante : y = 4x (x² + 3x + 2)

• **De plus, dans ce cas, on peut aussi la factoriser - les facteurs de 2 sont 1 et 2, et la somme de ces facteurs est 3.

1. Alors, y = 4x (x + 1)(x + 2)

• Si possible, la mise en évidence est la première étape lors de la factorisation. Sinon, on passe à la méthode produit - somme.